ℕ⊢×

Σ = { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 × = ∈ ℙ }
≺ : 0 ≺ 1 ≺ 2 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8 ≺ 9 ≺ × ≺ = ≺ ∈
N ::= 0 | [1-9][0-9]*
× : a×0 = 0   ·   a×(b+1) = (a×b)+a
ℙ : p ∈ ℙ  ⟺  1 < p  ∧  ∀a, b: 1 < a ∧ 1 < b ⟹ a×b ≠ p
F ::= N | F × N
E ::= N = F | N ∈ ℙ
⊨ N = p₁×p₂×…×pₖ  ⟺  2 ≤ k  ∧  ∀i: pᵢ ∈ ℙ  ∧  pᵢ ≤ pᵢ₊₁  ∧  ⟦p₁×…×pₖ⟧ = N
𝕂 = { E | ⊨ E, N ∈ [2, 1000] }   ·   ∀N ∈ [2, 1000]: ∃! E ∈ 𝕂   ·   ⇅ N

∣ : d ∣ m  ⟺  ∃k: d×k = m
⊓ : ⊓⟨a₁,…,aₖ⟩ = d  ⟺  ∀i: d∣aᵢ  ∧  ∀e: (∀i: e∣aᵢ) ⟹ e∣d
P ::= 0 | 1 | 2 | 3 | n | ( P + P ) | ( P × P )   ·   |P| ≤ 9   ·   ⟵ Σ⊢=
[P] = ⟨a₀,…,aₖ⟩  ⟺  ∀n: ⟦P⟧(n) = a₀ + a₁×n + … + aₖ×nᵏ   ·   k = ∂P
G ::= ∀n: d ∣ P
⊨ ∀n: d∣P  ⟺  ∀r ∈ [0, d−1]: d ∣ ⟦P⟧(r)
⊨ ∀n: d∣P  ⟺  d ∣ ⊓⟨⟦P⟧(0),…,⟦P⟧(∂P)⟩        ⟵ 1896
𝔾 = { ∀n: d∣P | d = ⊓⟨⟦P⟧(0),…,⟦P⟧(∂P)⟩, d > ⊓[P] }   ·   (d ÷ ⊓[P]) ∣ (∂P)!   ⟵ 1919
𝕊B(P, d)  ⟺  d ∣ ⊓⟨⟦P⟧(0),…,⟦P⟧(B−1)⟩   ·   𝕊∂P+1 ⟺ ⊨

∃∞n: P∈ℙ  ⟺  ∀m ∃n > m: ⟦P⟧(n) ∈ ℙ
⊨ : ∂P = 1  ∧  ⊓[P] = 1  ⟹  ∃∞n: P∈ℙ        ⟵ 1837
⊭ : d > 1  ∨  P = A×B (∂A ≥ 1, ∂B ≥ 1)  ⟹  |{ n | ⟦P⟧(n) ∈ ℙ }| ≤ 2×∂P
? : ∂P ≥ 2  ∧  d = 1  ∧  ¬∃A,B: P = A×B  ⟹  ∃∞n: P∈ℙ ?        ⟵ 1857
πP(B) = |{ n ≤ B | ⟦P⟧(n) ∈ ℙ }|
E(P) = C(P) × Σn ≤ 10⁵ 1 ÷ ㏑⟦P⟧(n)   ·   C(P) = ∏p < 10⁵ (1 − ω(p) ÷ p) ÷ (1 − 1 ÷ p)   ·   ω(p) = |{ r < p | p ∣ ⟦P⟧(r) }|        ⟵ 1962

最後の 6 行は 𝔾^∞ 区画のための規則です。∃^∞ は「無限に多く存在する」、⊨ は証明済みで成り立つ、⊭ は証明済みで成り立たない、? は未解決（候補）を表します。π は素数になった個数、E はベイトマン–ホーン予想の予言、㏑ は自然対数、ω(p) は p で割り切れる値になる余りの個数です。

後半は 𝔾 区画のための規則です。d∣m は「d が m を割り切る」、⊓ は最大公約数です。P は記号原典の 𝔾 と同じ多項式の式（9 節点まで）で、[P] はその係数の並び、∂P は次数です。∀n: d∣P は「どんな n を入れても P の値が d で割り切れる」ことで、二通りに確かめられます。一つは n = 0…d−1 を全部試す方法（割った余りは周期 d で繰り返すため）、もう一つはヘンゼル（1896 年）の定理で、最初の ∂P+1 個の値の最大公約数を見る方法です。𝔾 に載せるのは、この「いつも割り切れる数」d が係数の最大公約数 ⊓[P] より大きいもの、つまり係数を見ただけでは分からないものだけです。その倍率 d ÷ ⊓[P] は必ず次数の階乗の約数になります（ポーヤ、1919 年）。𝕊_B は、最初の B 個の値だけを見て割り切れを判定する「安い篩」です。B が次数 +1 以上なら必ず正しく、それより少ないと騙されることがあります。

使う記号は 0〜9 と × と = と ∈ と ℙ です。× は記号原典の足し算から「a×0=0、a×(b+1)=a×b+a」で定めます。ℙ（素数）は「1 より大きく、1 より大きい二つの数の積では書けない数」です。各項目は、素数なら N∈ℙ、そうでなければ N を素数の積として小さい順に並べた N=p₁×…×pₖ の形です。⊨ はその分解が正しいこと（積が N に等しく、各因数が素数で、小さい順に並んでいること）を表します。2 から 1000 までのどの数にも、ちょうど一つの項目があります（∃!）。並べ方は数の小さい順で、これは「長さ → 記号順」と一致します。

既知の区画です。2〜1000 の 999 個の数それぞれについて、素数かどうかと素因数分解を、このページでも読み込み時に計算し直しています（分解は掛け算、素数は割り算で確かめます）。帯は 100 ごとに分けてあり、2〜99 だけ最初から開いています。素数の項目は色を変えています。各項目は #n12 のような、数そのものを使った固有の位置を持ちます。

機器が生成したものを受け入れる区画です。予想生成器の多項式（記号原典の 𝔾 と同じ、9 節点以下の式から作れる 694 個）すべてについて「いつも割り切れる数」を求め、係数からは見えないもの 107 個を載せました（STEP 2419）。次数ごとの帯に分け、易しい順（次数 → 割る数 → 式の短さ）に並べています。最初の項目 f001 は n×n+n が 2 で割り切れる例で、n と n+1 は連続する二数なのでどちらかが偶数になるからです。3 次の帯の f098 は n×(n+1)×(n+2) と同じ多項式で、連続する三数の積なので 6 で割り切れます。各項目の二行目は二つの証明です。⊓⟨…⟩ は最初の ∂P+1 個の値とその最大公約数（ヘンゼルの方法）、≡ ⟨…⟩ は n = 0…d−1 を d で割った余り（すべて 0 なら周期の方法による証明）です。このページは読み込み時に両方を計算し直し、二つの方法の答えが一致すること（⇄）も確かめています。⟶ の付いた項目は、記号原典の 𝔾 に同じ多項式の組があり、そこへ移動できます。

𝔾 と同じ 694 個の多項式それぞれについて、「P(n) が素数になる n は無限にあるか」を問い、答えを三つに分けて全部載せた区画です（STEP 2423、事前登録 9952f19fc）。⊨ は証明済みで「ある」もの（1 次式で係数が互いに素。ディリクレの定理、1837 年）。⊭ は証明済みで「有限個しかない」もの（固定約数が 1 より大きいか、二つの多項式の積に分解できるもの。値が素数になる n は 2×次数 個以下で、実際は 0 個か 1 個でした）。? は候補で、まだ誰にも分からないもの（2 次以上・分解できない・固定約数 1。ブニャコフスキー予想、1857 年。2 次以上では一例も証明されていません。p302 の n×n+1 もここにあります）。候補には証拠として、n ≤ 10⁵ で実際に素数になった個数 π と、ベイトマン–ホーン予想（1962 年）が予言する個数 E、その比 ÷ を添えています。118 個の候補はすべて予言の ±3% 以内に収まり、最もずれたのは p678（n³+9）の +2.9% でした。このページでは、分類の根拠（1 次式の係数の最大公約数、固定約数、因子の積、候補に有理数の根がないこと）と、比が π ÷ E に等しいことを確かめ直しています。π そのものを 10⁵ まで数え直すのはページには重いので、テスト側で行い、ここでは下の計数器で小さな範囲を自分で数えられるようにしています。なお 4 次の候補 3 個は、有理数の根がないだけでは分解できないことの証明にならないため、その部分はテスト側（sympy の因数分解）で確かめています。

素数の計数器です。多項式 P と上限 B を入れると、n = 0〜B で P(n) が素数になる個数と、最初のいくつかの n を数えます。候補の帯の数値は B = 10⁵ のものなので、ここで小さな B で数えると、その途中経過が見られます。

篩の実験台です。多項式 P（記号原典の書き方、例：(n×(n×(3+n)))）、見る値の個数 B、割る数 d を入れると、最初の B 個の値・その最大公約数・篩の判定（𝕊）・本当の答え（⊨）がその場で出ます。篩は通したのに本当は割り切れない場合（騙された場合）は ⚠ が付きます。下の欄は、実際に篩が騙された例です（「式 · d · B」の順）。押すとそのまま実験台に入ります。たとえば最初の例で B を 3 から 4 に増やすと、⚠ が消えることを確かめられます。

篩 𝕊_B の誤り率の測定結果です（STEP 2419、事前登録 a886f7de2）。694 個の多項式と d = 2〜120 のすべての組（82,586 組）について数えました。左から、B、篩を通った組の数、そのうち本当に割り切れる組の数、騙された組の数、騙された割合（FDR）です。最初の 1 個しか見ないと 97% が偽物ですが、2 個で 23%、3 個で 1.4%、4 個で 0 になります。4 個で 0 になるのは、この世界の 4 次の式がごく限られるためで、測ってみて分かったことです。5 個で 0 になるのは定理（ヘンゼル）と、5 次の式が n⁵ だけであることから、測る前に決まっていました。

予測と実測の記録です。機器を作るたびに、結果を計算する前に予測を立てて固定し（事前登録）、実測と比べてきました。各行は左から、番号、予測（◇）、90% の信頼区間、実測（●）、区間に入ったか（∈ / ∉）です。証明済みの不変量と確定値は予測ではないので数に入れず、各帯の ⊢ の行に件数だけ示しています。帯を開いて ◐ を押すと、各行の名前と、その回の外れ方の教訓が読めます。この記録は、次に予測を立てる人や AI が同じ誤りを繰り返さないための置き場です。